Reed-Solomon符号

• Reed-Solomon符号
  • 概要
  • 定義と基本的な性質
  • Reed-Solomon符号の復号
    • 一意復号
    • リスト復号

概要

Reed-Solomon符号はアルファベットサイズが大きいものの、高い誤り訂正能力を持つ符号であり、地上波デジタル放送、QRコードなど、実用においても非常に重要なものである。

定義と基本的な性質

有限体 $\F_q$ 上の関数 $f\colon \F_q\to\F_q$ は、ある自然数 $k\in\Nat$ と $c_0,\dots,c_{k-1}\in \F_q$ に対して

\[\begin{align*} f(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{k-1} x^{k-1} \end{align*}\]

と表せるとき、 $f$ は次数 $k$ 未満 の多項式であるという（ $c_{k-1}=0$ も許容している）。

定義（Reed-Solomon符号).

有限体 $\F_q$ 上の次数 $k$ 未満の多項式の全体を $\calP_{<k}$ とする。このとき、 $m$ 個の異なる元 $\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in \F_q$ に対して、

\[\begin{align*} \calC = \set{ (f(\alpha_1),\ldots,f(\alpha_m)) \colon f\in \calP_{< k} } \subseteq \F_q^m \end{align*}\]

を Reed-Solomon符号 という。特に断りがない場合は、 $\F_q=\set{\alpha_1,\dots,\alpha_m}$ とする（特に $q=m$ ）。

ここで、点 $\alpha_1,\dots,\alpha_m \in \F_q$ を 評価点 という。Reed-Solomon符号の符号化は次数 $k$ 未満の多項式に対し、その係数を並べた長さ $k$ のベクトルを、評価点における評価値を並べた長さ $m$ のベクトルに移す写像であるため、アルファベットサイズ $q$、符号長 $m$、レート $r=k/m$ である。 文脈によっては、評価点の集合を $\mathbb{F}_q$ とするものをReed-Solomon符号と呼び、上記の定義のように、一般の評価点の集合を考えるものを 一般化Reed-Solomon符号 と呼ぶことがある。

任意の多項式 $f\in \calP_{<k}$ は根（ $f(x)=0$ を満たす $x$ ）の個数が高々 $k$ 個であるため、二つの相異なる多項式 $f,g\in \calP_{\le d}$ に対して、 $f(x)=g(x)$ を満たす $x$ の個数もまた高々 $k$ 個である。従って、一様ランダムな点 $x\sim\F_q$ に対して確率 $1-k/m$ で $f(x)\ne g(x)$ を満たすため、Reed-Solomon符号の距離は $1-k/m$ である。

一般にReed-Solomon符号では符号長 $m$ を大きくしていくにつれて考えるアルファベットサイズ $q\ge m$ も大きくなるため、符号長を大きくしていくときの漸近的なオーダーを議論する際はそのアルファベットサイズも $m$ の増加に伴って大きくなっていくことに注意すべきである。また、次数のパラメータ $k$ をアルファベットサイズ $q$ に比例するようにとることによってレート $r=k/m$ を一定に保つことができる。従って $k$ もまた $m$ の増加に伴って大きくなっていくことを考えることが多い。

理論的な応用ではアルファベットサイズを定数にしたい場合が多々あり、そのような状況ではReed-Solomon符号を直接使うことはできない。よくある手法としては、Reed-Solomon符号と他の符号との連節を考えることによってアルファベットサイズを減少させる方法がある。その際、連節によって誤り訂正能力やレートといったパラメータも変化するので注意が必要である。

Reed-Solomon符号の復号

Reed-Solomon符号の復号では, 以下の問題を考えます:

問題（多項式フィッチング問題).

有限体 $\F_q$ に対して平面上の点 $(x_1,y_1),\dots,(x_m,y_m)\in\F_q^2$ およびパラメータ $k,t\in\Nat$ が与えられたとき、次数 $k$ 未満の多項式 $f\colon\F_q\to\F_q$ であって、少なくとも $t$ 個の点 $(x_i,y_i)$ を通るものを全て列挙せよ。

一意復号

一意復号では, 与えられたベクトル$y\in \F_q^m$に対して, $\delta(y,z) < 1/2$を満たす$z\in \calC$を求める問題を考えます. より詳細には, レートを$r=k/m$としたとき, Singleton限界より, $\delta(y,z)\le \frac{1-r}{2}$を満たす$z\in \calC$を求めたいです.

リスト復号

半径$R$のリスト復号では, 与えられたベクトル$y\in \F_q^m$に対して, $\dist(y,z)\le R$を満たす$z\in \calC$を列挙する問題を考えます. すなわち, $y$を中心とした半径$R$のボール内に存在する符号語を列挙する問題を考えます. 通常, $R$は, 一意復号の限界$\frac{1-r}{2}$よりも大きく, 符号の距離$1-k/m = 1-r$より小さい値を考えます. 多くの場合, 列挙すべき符号語の個数は$\varepsilon$のみに依存する定数, もしくは符号長$m$に関して多項式であることが保証されます.

任意の定数$\varepsilon>0$に対してReed-Solomon符号は半径$1-r-\varepsilon$のリスト復号が可能かどうかは非常に重要な未解決問題であり, そもそも列挙の対象$\ball(y,R)\cap \calC$の個数の上界を求めることすら非常に難しい問題として知られています. 近年の研究によって, アルファベットサイズ$q$を十分大きくとり, 評価点$\alpha_1,\dots,\alpha_m\sim\F_q$をランダムに選ぶと高確率で半径$1-r-\varepsilon$のボールに含まれる符号語の個数が$O(1/\varepsilon)$であることが示されています¹. しかし, そのような場合においてもリストを効率的に列挙するアルゴリズムは知られていません.

Johnson限界により, Reed-Solomon符号のリスト復号は$R<1-\sqrt{r}$の時は組合せ論的には可能であることがわかっており, 実際にこの範囲の$R$に対し多項式時間でReed-Solomon符号をリスト復号できることが知られています. Sudan(1997)は$R<1-\sqrt{2r}$のときに多項式時間でリスト復号するアルゴリズムを与え², GuruswamiとSudan(1999)は$R<1-\sqrt{r}$のときに多項式時間でリスト復号するアルゴリズムを与えています³. なお, Alekhnovich(2005)により, この領域の$R$のリスト復号はほぼ線形時間で可能であることが示されています⁴.

なお, Reed-Solomon符号を少し変形したfolded Reed-Solomon符号は半径$R<1-r$のリスト復号が多項式時間で可能であることが知られています⁵. すなわちfolded Reed-Solomon符号はJohnson限界より良いリスト復号性能を持つ符号です.

1. O. Alrabiah, V. Guruswami, and R. Li, “Randomly Punctured Reed–Solomon Codes Achieve List-Decoding Capacity over Linear-Sized Fields,” in Symposium on Theory of Computing, 2024. ↩

2. M. Sudan, “Decoding of Reed-Solomon Codes Beyond the Error-Correction Bound,” Journal of Complexity, 1997. ↩

3. V. Guruswami and M. Sudan, “Improved Decoding of Reed-Solomon and Algebraic-Geometry Codes,” IEEE Trans. Inform. Theory, 1999. ↩

4. D. Alekhnovich, “Linear Diophantine Equations Over Polynomials and Soft Decoding of Reed–Solomon Codes,” in IEEE Trans. Inf. Theory, 2005. ↩

5. V. Guruswami and M. Rudra, “Explicit codes achieving list decoding capacity: Error-correction with optimal redundancy”. IEEE Trans. Inform. Theory, 2008. ↩